Produit scalaire dans un triangle 🔺

📌 Produit scalaire avec les normes

\[ \vec{u}\cdot\vec{v} = \frac12 \left( \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2 \right) \] 📌 On remplace ensuite par les longueurs du triangle.

On considère un triangle ABC tel que :

$ AB = 4 \quad AC = 8 \quad BC = 7 $

4 étapes – 1 point chacune

On veut calculer : $ \vec{AB}\cdot\vec{AC}$

Q1. Appliquer la formule :

$ \vec{AB}\cdot\vec{AC} = $	$\frac12$(	$\longrightarrow$	+	$\longrightarrow$	-	$\longrightarrow$	-	$\longrightarrow$	)
		$\\|$$\\|^2$		$\\|$$\\|^2$		$\\|$		$\\|^2$

Q2. Simplifier :

$ = $	$\frac12$(	$\longrightarrow$	+	$\longrightarrow$	-	$\longrightarrow$	)
		$\\|$$\\|^2$		$\\|$$\\|^2$		$\\|$$\\|^2$

Q3. Remplacer par les longueurs :

$ =\frac12$( $^2$ + $^2$ - $^2$ )

Q4. Calcul final :

$ =\frac12$( $^2$ + $^2$ - $^2$ ) =

$ \vec{AB}\cdot\vec{AC} = $	$\frac12$(	\(\longrightarrow\)	+	\(\longrightarrow\)	-	\(\longrightarrow\)	-	\(\longrightarrow\)	)
		$\\|$$\\|^2$		$\\|$$\\|^2$		$\\|$		$\\|^2$

$ = $	$\frac12$(	\(\longrightarrow\)	+	\(\longrightarrow\)	-	\(\longrightarrow\)	)
		$\\|$$\\|^2$		$\\|$$\\|^2$		$\\|$$\\|^2$