Rappel : Si \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) avec \( v(x) \neq 0 \), alors :

\( f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \)

Exemple :

\( f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 3} \)

\( u(x) = 2x + 1 \), \( u'(x) = 2 \)

\( v(x) = x^2 + 3 \), \( v'(x) = 2x \)

\( f'(x) = \frac{2(x^2 + 3) - (2x + 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6 - 4x^2 - 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 6}{(x^2 + 3)^2} \)

⚠️ On laisse le dénominateur au carré car on devra étudier son signe et c'est très bien qu'il soit au carré, car il sera positif et n'aura pas d'influence sur le signe globale de la fonction 😉

Soit :

\( f(x) = \frac{-5x}{5x^2 - x - 7} \)

On pose :

\( u(x) = -5x \)

\( v(x) = 5x^2 - x - 7 \)

Conseil : Écrivez sans espaces, utilisez ^ pour les puissances, et respectez les signes.