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Dérivée d’un produit – (ax+b)e^{cx+d}



Règles à connaître par cœur :
• Règle du produit : \( (uv)' = u'v + uv' \)
• Dérivée de \( \mathrm{e}^{kx+m} = k \mathrm{e}^{kx+m} \)

Exemple:
Prenons $f(x)=(-3x+5)e^{2x-3}$.
On reconnait un produit de fonction de la forme $u(x)\times v(x)$ avec $u(x)=-3x+5$ et $v(x)=e^{2x-3}$.

On a: $u'(x)=-3$ et $v'(x)=2e^{2x-3}$.

Ainsi, $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = \textcolor{orange}{-3} \times \textcolor{red}{e^{2x-3}} + \textcolor{blue}{(-3x+5)} \times 2\textcolor{red}{e^{2x-3}}$ (on va ici factoriser par $\textcolor{red}{e^{2x-3}})$

$f'(x) =( \textcolor{orange}{-3} + \textcolor{blue}{(-3x+5)}) \textcolor{red}{e^{2x-3}} = (-3 -3x+5)e^{2x-3} = (-3x+2)e^{2x-3}$.



Soit la fonction   \( f(x) = (-7x-9)\,\mathrm{e}^{-4x-2}\).

On pose   \( u(x) = -7x-9 \)   et   \( v(x) = \mathrm{e}^{-4x-2}\).



1.   \( u'(x) \;=\; \)    (1 point)
2.   \( v'(x) \;=\; \) \( \mathrm{e}\)    (2 points – les deux champs)
3.   En déduire que :
\( f'(x) \;=\; \) \( \mathrm{e}\)    (3 points – les deux champs)