📚Espérance et écart-type

Définition :

L’espérance de la variable aléatoire $X$ est le nombre $E(X)$ :

$E(x) = x_1 \times P(x_1) + ... +x_n \times P(x_N)$
On peut aussi le noter:
$E(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X=x_i)$

Remarque :
L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs prises X.

Définition :

• On appelle variance de la variable aléatoire $X$ le nombre:
  $V(X) = \sum_{i=1}^{n} [x_i - E(X)]^2 \times P(X=x_i)$ Autrement dit:
  $V(X) = [x_1 - E(X)]^2 \times P(x_1) + ... + [x_n - E(X)]^2 \times P(x_n)$



• On appelle écart type de la variable aléatoire $X$ le nombre:
  $\sigma = \sqrt{V(X)}$

Remarques :

• la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire sont des indicateurs de la dispersion des valeurs prises par $X$ autour de l'espérance.


• $\sigma$ est le s minuscule de l’alphabet grec et se lit « sigma ».

Exemple : Si on a le tableau de loi de probabilité suivant pour un jeu:

Gain ou perte (€)	1	3	-2
Probabilité associée $P(X = x_i)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

On calcule l'espérance ainsi:
$E(x) = 1 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{1}{3} + (-2) \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6} \approx 1,17 $.
On peut interpréter l'espérance ainsi: le joueur peut espérer gagner 1,17€ si il joue un grand nombre de fois à ce jeu.

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On a : $V(X) = (1 - 1,17)^2 \times \frac{1}{2} + (3 - 1,17)^2 \times \frac{1}{3} + (-2 - 1,17)^2 \times \frac{1}{6} \approx 3,41$.

Dans notre exemple, nous trouvons donc: $\sigma = \sqrt{3,41} \approx 1,85$.

On considère une variable aléatoire \(X\) dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

\(x_i\)	-3	-2	-1	10
\(P(X=x_i)\)	0.333	0.167	0.167	0.333

Tes valeurs seront arrondies au millième si besoin.