Méthode pour étudier une fonction de degré 3
Sur ce type d'exercice, tu seras guidé.
(Si tu as peur du texte, files voir l'exemple 😆)
La 1ère question sera de trouver la fonction dérivée, si tu es arrivé(e) là, tu as déjà relevé ce défi 😉.
À partir de là, 2 solutions:
- Soit on te donne la forme factorisée de $f'(x)$ (tu la développes et tu montres que tu retrouves le f'(x) de la 1ère question...)
- Soit, on te donne une racine et il faut trouver la deuxième. On va détailler ce point.
Ta dérivée est de degré 2, donc de la forme $ax^2+bx+c$. Elle se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Tu connais déjà $a$ et $x_1$, il te reste à trouver cette 2ème racine $x_2$.
Je vais te donner la méthode la plus simple...
Dans la dérivée que tu as trouvée, le terme "sans $x$" est $c$. Et bien, dans la forme factorisée, le terme "sans $x$", viendra de $a\times (-x_1)\times(-x_2) = a\times x_1 \times x_2$.
Je sens que ça chauffe dans ta tête 🤯, on fera un exemple...
Donc tu poseras que $a\times x_1 \times x_2 = c$ et ça sera bon...
Après, on part sur le tableau de variations:
Tu mets tes racines dans l'ordre, sur la ligne de $x$.
Tu fais une ligne pour le signe de $a$. Et tu mettras... le signe de $a$.
Une ligne pour le signe de ta 1ère parenthèse, tu mettras un zéro sous la valeur de $x$ qui annule cette parenthèse, et pour les signe, pas compliqué...
Ta parenthèsen ressemble obligatoirement soit à $(x-x-1)$ soit à $(dx + e)$. Dans tous les cas, tu mets le signe du coefficient du $x$ de ta parenthèse (1 ou $d$) à droite du 0, et à gauche le signe inverse.
Pour la ligne suivante, on fait parail avec la deuxième parenthèse.
On passe à la ligne signe de $f'(x)$. Tu appliques colonne pas colonne la règle des signes, et tu fais tomber les 0.
En enfin, les variations de $f$. Si tu as un "+" pour $f'(x)$ tu mets ↗, si c'est $-$, tu mets ↘.
Pour finir, tu rentres la fonction sur ta calculatrice, tu vérifies qu'elle suit bien les variations que tu as trouvé et tu viens indiquer les valeurs prise en $x_1$ et $x_2$.
Exemple:
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3+3x^2-9x+1$.
1. Calculer $f'(x)$.
2. Sachant que $-3$ est une racine, trouvez l'autre racine et en déduire la forme factorisée de $f'(x)$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ et construire le table de variation de $f$.
Correction:
1. on a : $f'(x)= 3x^2+3\times 2x - 9 = 3x^2+6x-9$.
2. On sait que la 1ère racine $x_1$ est \textcolor{red}{-3}, que $\textcolor{blue}{a = 3}$ (coefficient du $x^2$ de $f'(x)$).
Comme la forme factorisée de $f'(x)$ est de la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$, on a:
$f'(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = \textcolor{blue}{3}(x-\textcolor{red}{(-3)})(x-x_2) = 3(x+3)(x-x_2)$.
Et nous, nous voulons que $f'(x) = 3x^2+6x\textcolor{orange}{-9} = 3(x+3)(x-x_2)$.
Pour trouver le bon $x_2$, l'astuce est de se concentrer sur les "sans $x$" qui doivent valoir $\textcolor{orange}{-9}$.
Et dans $3(x+3)(x-x_2)$, ils proviennent de $3\times 3 \times (-x_2) = -9x_2$.
Donc on a $-9x_2 = \textcolor{orange}{-9}$. D'où $x_2 = \frac{-9}{-9} = 1$.
On a la forme factorisée de $f'(x)$ 🥳: $f'(x) =3(x+3)(x-1)$.
3. Le tableau:
À partir de là, c'est plus simple.
Sa structure:
| $x$ | \( -\infty \) $x_1$ $x_2$ \( +\infty \) |
| signe de $a$ | ... |
| signe de $(x+3)$ | ... |
| signe de $(x-1)$ | ... |
| signe de $f'(x)$ | ... |
| variations de $f$ | ... |
| \( -\infty \) | -3 | 1 | \( +\infty \) | |||
| signe de 3 | $+$ | |||||
| signe de $(x+3)$ | $-$ | 0 | $+$ | |||
| signe de $(x-1)$ | $-$ | 0 | $+$ | |||
| signe de \( f'(x) \) | $+$ | 0 | $-$ | 0 | $+$ | |
| variation de \( f \) | ↗ | 28 | ↘ | -4 | ↗ | |