Pour déterminer le nombre de chiffres d’un grand nombre, on utilise le logarithme décimal.
\[ \text{Si } 10^k \le N < 10^{k+1} \quad \text{alors } N \text{ possède } k+1 \text{ chiffres.} \]
On utilise donc :
\[ \log(N) \]
Exemple :
On veut s'avoir le nombre de chiffres de l'écriture décimale de $7^{14}$.
On a : $\log(7^{14}) = 14 \times \log{7} \approx 11,83$.
Ainsi: $11 < \log(7^{14}) < 12$ et donc $10^{11} < 7^{14} < 10^{12}$.
L'écriture scientifique de $7^{14}$ est de la forme $a \times 10^{11}$, avec $1 \leq a < 10$.
L'écriture décimale de $7^{14}$ comporte donc 12 chiffres.
Une playlist est composée de 20 morceaux, choisis parmi 700 titres disponibles.
On appelle N le nombre total correspondant à le nombre de playlists uniques.
\[ N = 700^{20} \]
Cela signifie qu’il y a 700 possibilités à chaque étape, répétées 20 fois.
On cherche à déterminer le nombre de chiffres de l’écriture décimale de N, sans calculer N explicitement.